0.999…=1？数到底是什么？李永乐老师讲数学公理化

不太懂 分割根號2時 有一端點可表示根號2 為何會說A中無最大B中無最小 @@

我覺得戴德金分割法那個證明是有問題的，關鍵在於這步 1 - 1/10^n = 0.999...9 < 0.99999....
這裡你並沒有證明 n 不會趨近於無窮大，事實上直覺來說，n 會趨於無窮大。
這樣一來，就會變成 1 - 1/10^n = 0.999...9 = 0.99999....
問題來了，既然 1 - 1/10^n = 0.99999....
那麼 1 = 0.99999.... + 1/10^n
因為 1/10^n 不等於零，故得證 0.99999... 不等於 1
因此戴德金分割法反而是證明 0.99999... 不等於 1

把一個很簡單的問題搞得極端複雜, 是人類思維以自身為目標的一種運作, 目的是將人類思維打磨得更犀利, 也可以想成是大腦潛力的開發! 這種開發是一切創 新與發明的源頭!

看到这个视频，突然有了个概念，无限接近就相等，无限接近1就等于1，无限接近0就等于0，无限接近光速就等于光速，无限接近神就等于神，如果这个等式是对的，那么重要的是掌握无限接近的方法，结果其实不重要。

我不服。
如果0.99999…..=1，那么1左边紧挨着1的实数是多少？

听了还是不动

17：03 n是自然數的話，「小數點後n個9」一定小於「小數點後無窮個9」嗎？
自然數如果是無窮集合的話，n也可以是無窮大。
這樣是不是可以理解為，這個證明已經表明了n不是無窮大的自然數；那1/10^n也不可能無窮小，這樣證明出的實數不就是無窮小就是0，且不存在無窮大的集合。

要证明的是无理数0.999…是否等于1。这个只是证明了小于0.9999..的有理数集合等价于小于1的有理数集合，这是证了个寂寞😂

我有一个问题，t不一定是有理数，也可以是实数啊，于是不能写成p/q的形式

不知不覺三年了.

其实通俗来说，就是去证明
0.999的循环 和 1 之间不存在有理数。
也就是，没有两个整数之比 能够介于两者之间。
上述问题得证，就代表两者作为界限而划分的有理数区间是等价的。
因此两个数是相同的戴德金点，即相同的实数。

简单些，我们也可以这样理解：
已知 1/3 = 0.333的循环
那么 1/3 x3 = 0.333的循环 x3
即 1 = 0.999的循环

假设用一数d=0.1作为精确度，来判断1与0.9999 ....的差值能否满足这个精确度.显然｜0.999...-1｜< 0.1能满足d这个精确度,再把精确度d调小为d =0.01, d=0.0001, d=0.0000....1,显然都可以满足.经数学表达式计算结果事实与知觉判断分析,无论设定多么小的精确度,0.999...与1的差值都能小于这个精确度,也就是说0.999..与1的差距要多小有多小.两数差距要多小有多小(无限小），不就说明两数相等吗？从几何直观上看0.999...与1之间是连续的,无间隔的

0.99999……=0.3333……*3=1/3*3=1

（一）
我認為0.9999.....,,的表式無意義，它不是一個數😮
如果它是一個數，那
兩個 0.9999.....
如何進行加法運算呢 🤔
我不會加😢

（二）
n = 1 0.9 ;
n = 2 0.99 ;
.
.
.
n = N
0.99......9
共N個9；

當 N 不斷增大時，它的「極限」等於 1 😃
換個方式説：
當 N 「趨近無窮大」時，它「趨近 1」
😃






.



.
.

最后的一步有问题， n 有可能是无限大，因为无限循环小数的存在，有理数是无限的。
这个问题有个漏洞是对0.9999....是不是有理数的认定。
如果把他归类到无理数，因为无理数连续的，一般不能证明两个无理数相等，除非一些特殊的形式。

大家不觉得最后的证明有问题吗？ A集合 和 C集合 是一样，但是A和C集合都是有理数的集合啊，<0.999和<1的实数集合一样，才能证明0.999...=1吧

請教李老師,網路上的6÷2(1+2)=?
正確解答是1還是9?
謝謝

学习了，不过有一个问题。初等数学的方法，似乎并没有任何漏洞，那么，为什么视频开头说那不是严格证明呢？

我有些不同的看法。看到1和0.999的循环的问题，网上很多人都会说戴德金分割。今天才知道出处是这里。戴德金分割来证明1等于0.9的循环其实没有触及这个问题的本质。
讨论这个问题，却不讨论0.9的循环到底是什么，我认为其实都是在回避问题。
这个问题的本质其实是，那些不承认0.9循环等于1的人其实没有明确0.9的循环到底是什么意思。他们需要的不是一个绕圈子的证明，而是一记直球，告诉他们，他们到底错在哪。

0.9的循环到底是什么？ 我们把它定义为0.9，0.99，0.999……这个序列的极限。
那么问题就来了，不承认的人认为，这个序列的每一项都小于1，所以这个0.999……这个数也就小于一。
错在哪，错在0.999……这个数，其实并不在这个序列中。这就是对极限理解的偏差，0.999……有无穷个9，所以无论序列有多少项，都只能无限逼近，但是到不了0.999……这个数本身。正如这个序列可以无限毕竟1，但是到不了1。

所以0.999....的餘數到底是多少呢?

When you learn mathematics, you need to avoid the overtones of some words, such as rational and irrational. They are just saying that there are two differnt kinds of numbers. No more, no less.

证明精彩，最后一段话更精彩

让我想起印度天才数学家拉马努金，他的一身虽然短暂，但是给我们留下了很多至今都无法证明的数学公式。大家都相信这些公式是对的，但是仍在孜孜不倦地想要得到证明。天才需要经验和灵感，但是要所有人信服并放心应用，还是需要详细的推理。所以说，经验和推理，两者都很重要，都是人类文明之光。

說白了微積分是接近現實，但不是現實。【只是幫助我們尋找近似解，方便一些數學上的操作】
如果同等條件0.00001【無限多個0後面為1】無限疊加。始終沒有任何差別～
既然沒有差別，那麼一個東西無限細分，那這東西可以當作不存在了。

i dont use rational but real humber
no real numbers between 0.999...... and 1,
if 1-0.999... = k, k has no real part,
1-0.999.... = 0 since no numerical difference in real domian
ie, 1= 0.999....

以感性理解，戴德金找到了精确的“一刀”，砍中了无理数

1/3+1/3+1/3是不是等于1/3×3的意思吗？

精彩，漂亮！

我一直在等epsilon结果没出来😂

我还是不同意这个推论，这个问题的道理就等于宇宙起源一样。0.9999无限循环下去，只能说明从0.9这个质点起，无限地往右移动，且越往右，质点越挤压，质点会变得越来越小，越来越接近1，却永远没法到达1。就是说道理等于原子是物质最基本单位，一探究，原子里面有电子，质子，中子，而质子里又有夸克粒子，而夸克粒子里面又有什么？只是进入了我们目前无法探测的微观世界，不等于它不存在，同理，0.999无限循环也是进入了一个微观世界，但它永远无法到达1。

如果q小于0呢

《鐵鏈》和《直線》的矛盾。
矛盾：近看時，鐵鏈是一圈一圈有縫串起；遠看時，鐵鏈就成了無縫直線。

比如π ，e 这些数在直线轴上是不能精确找到的，是不能精确分割的，割圆为方不可能，一些无理数也一样不能，强行分割就会出现无穷小的量，无法割尽，戴德金怎么能正好割到无理数，因为一刀割直线轴是无法确认割到的是有理还是无理数的，弯曲的数轴如圆弧是可以精确分割π 的，只要是直数轴必然出现无穷小的量，所以1和0.9循坏还是不等的，他们之间差了个无穷小，也就是0.0000.....1这个数。微积分极定义有意避开了这数，也就避开了0.0000.....2，0.0000.....3，......,0.0000.....8的存在。但实际上这些数是存在的，比如把0.9循环的级数的9/10+9/10^2+........ 写成15/16+15/16^2+.......后式比前式收敛更快，是个0.9.......XXX形式的数，如果N为对齐，前式是后式的子集。

不明白,为什么一定能找到n,使得10的n次幂>Q? 那我还可以说,一定能找到一个整数Q,使得Q大于10的n次幂.

竟然有英文字幕 高手

证明我可以接受，但是我不能接受一个循环小数等于一个整数，超出了我的脑容量了...

2000年😮😮😮

數學已經還給老師了,但我還是要問下,0...9999=1<1.既然你在證明他等於 憑什麼説他小於1啊,.

我解決了連續統假設問題，請看 ：
I have solved continuum hypothesis problem , please refer to research gate with title : Foundation and logic of set theory , replacing all relevant axiomatic system (ZFC or arithmetic) with solution to Russell's paradox , solving continuum hypothesis , DOI: 10.13140/RG.2.2.23990.31045

圓形邊位放大無限倍是不是直線 如果是 為什麼它會是圓形? 所以 0.999... 不是1

大哥，麻煩把箭頭加上圓圈加上。
在畫啥鬼東西！

我竟然妄想聽懂這個題目。

分數本質是÷
而÷的誕生是
0.1=1×
0.2=2×
...
x=1/10＝0.1
合理
...
1=1x
2=2x
..
x＝1
合理等式分數
1/2=2×1/4
1/4-1/9=9/36-4/36=5/36
1/3=3×1/9
1/9-1/16=16/94-9/94=7／94
若想剪可得知5/36-7/94=470/3384-252/3384
=218/3384=109/1692
為正數且不為0

1/4=4x1/16
1/9=9x1/81
...

¹x=[1/¹n=¹n×1/¹n²]
[1/¹n=¹n×1/¹n²]>[1/²n=²n×1/²n²]
合理
不合理無限小數公式
0.8..＝8×0.1..=8×1/9
0.9...＝9×0.1...=9×1/9=1
若0.9..＝1合理
0.1..同值x
9x=1
x=1/9
因此
1/9=9×1/81
1/3=3x1/9
可知每次計算存在誤差
且誤差擁有分數性質
0.1..=1/81?
0.1..=1/9?
1/81=1/9?
與現實不服
1／81＜1／9
這是事實

此為公式證明
公式使用並非直接套用而需更具合理性使用
約等於非等於
等號使用不夠嚴謹

李永乐老师真是太伟大了

这个等式的意义是，0.9+0.09+0.009+........这个过程的极限是1

那个极限是一，这么说一点毛病都没有

有个问题，无理数不是连续的，但是有紧挨着的两个无理数吗？或者说两个无理数之间没有有理数的情况吗？

請問最後在用戴德金分割有理數時：怎麼知道0.9999.....是有理數？